圖中假設(shè)車輪不會出現(xiàn)軸向移動，故如果保持車輪轉(zhuǎn)角不變的情況下，每個車輪只能沿著垂直其車軸的方向行進(jìn)，這里取前后輪的軸心作為軌跡跟蹤點（實際過程中兩個前輪軸心不會出現(xiàn)平行），則軌跡應(yīng)該是以前后輪軸向線的焦點為圓心的圓。圖中φ為為前輪同水平方向的夾角，記前后輪軸距為L，后輪軸長為W，后輪距離車尾的距離為D，從幾何關(guān)系可知，后輪軸心的運動軌跡可以描述為以半徑Lcot(φ)的圓周運動。兩個后輪的軌跡分別為Lcot(φ)-W/2和Lcot(φ)+W/2的圓。這里的推導(dǎo)過程采用經(jīng)驗法結(jié)合幾何推算，完全從數(shù)學(xué)角度的推算過程請參考資料1。圖中的x方向和y方向不同于一般習(xí)慣主要是考慮后面的視角變換。從等式可以看到，當(dāng)φ接近0度時候行進(jìn)軌跡近似直線，接近90度時半徑呈縮小趨勢，符合我們?nèi)粘＝?jīng)驗值。
二 視角轉(zhuǎn)換
從倒車公式推導(dǎo)出的路線圖為行進(jìn)路線的俯視圖，實際顯示給操作者的路線應(yīng)該是從車內(nèi)觀察點觀察到的軌跡，駕駛?cè)藛T看到的運動軌跡實際為以車尾攝像頭為中心點坐標(biāo)的圖像描述（圖一中車尾位置的原點）。將攝像頭位置定為坐標(biāo)零點，則軌跡上的任意點位置公式為：（x+Lcot(φ)）2+(y+D)2=(Lcot(φ))2 （1）
上面推導(dǎo)的軌跡仍然是基于俯視條件下的軌跡，看到的應(yīng)該為處于一定視角觀察的軌跡，故需要進(jìn)行一定角度的轉(zhuǎn)換才能切換到實際觀察到的圖像。假設(shè)攝像頭的可視角范圍為2α，攝像頭距離地面h，攝像頭中心線同水平面的夾角為β，輸出屏幕的高度為H，這里假設(shè)攝像頭相對于屏幕為一個點，會造成實際計算結(jié)果的一定偏差，關(guān)于偏差的細(xì)節(jié)數(shù)學(xué)計算不屬本文討論的重點。我們實際觀察到的Yr為地面y在顯示屏H上的投影，y方向的轉(zhuǎn)換過程如圖二：
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2015-12-31 14:15 上傳
上圖中為了便于計算，將經(jīng)過攝像頭采集后輸出的顯示器直接投影到同一個圖中，這和實際輸出沒有區(qū)別。上圖中的虛線為水平線，點線為屏幕的中心點到攝像頭的連線，β為中心線和水平線的夾角
將上圖進(jìn)行簡化可轉(zhuǎn)為下列數(shù)學(xué)問題，等腰三角形中同頂點成已知角度所對應(yīng)的邊長，簡化后的計算如圖三。
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2015-12-31 14:16 上傳
Yr對應(yīng)的角度為α+β-θ，其中θ=arctg(h/y)
通過幾何運算可得：
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2015-12-31 14:16 上傳
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三 計算軌跡的條件
從以上計算我們可以看到，需要計算出軌跡，必須提供以下參數(shù)：
1 攝像頭的可視角范圍2a
2 攝像頭距離地面距離h
3攝像頭中心線同水平面的夾角β
4輸出屏幕的高度H和寬帶W
5 汽車前后輪軸距L
6 汽車軸長W，后輪距離車尾的距離D
7前輪同水平方向的夾角φ
以上參數(shù)中除轉(zhuǎn)角φ外對于固定的車型和安裝方式都已經(jīng)固定，轉(zhuǎn)角φ的獲取可以有兩種方式：1 對于有方向盤角度信息的車型可以直接通過輸出接口如can總線獲取。2外加角度傳感器獲取角度信息。兩種方式都需要對采集的信息作一定的校正。
將上面公式的2和3帶入1，可推導(dǎo)出顯示屏幕上的實際軌跡圖像。我們用vc實現(xiàn)了過程模擬，程序流程圖四，模擬結(jié)果如圖五。在真實的嵌入式平臺上實現(xiàn)需要該平臺支持圖像疊加功能，目前許多多媒體soc芯片都能具備硬件α融合功能，可以方便的將描繪出的軌跡疊加到攝像頭的輸入信號上，對于角度信息的采集，則要求平臺有can總線接口（部分車型可以輸出角度信息）或外加角度傳感器接口獲取車輪轉(zhuǎn)角。
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2015-12-31 14:17 上傳
圖四